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\title{Motion Capture}
\author{Luca Fardin}
\date{13/01/2010}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\textcolor{white}{\_}\\[1cm]
{\LARGE {\bfseries UNIVERSIT\`A DEGLI STUDI DI PADOVA\\}}
\vspace{1cm}
%\centering
\begin{figure}[!htbp]
 \begin{center}
 \setlength{\fboxsep}{-\fboxrule}
 \includegraphics[scale=0.5]{Immagini/LogoRifatto.eps}
 \end{center}
 \end{figure}

\LARGE Facolt\`a di Ingegneria\\Corso di Laurea in Ingegneria dell'Automazione\\[0.9cm]{\LARGE Corso di Stima e Filtraggio \\  a.a. 2009/10\\} \vspace{1.5cm}
{\LARGE {\bfseries Esercitazione matlab 1 }}\\[2cm]

{\large Stesore:Lorenzo Corso\\[0.4cm] Matricola:601403 \\ [0.4cm] Mail: corsolor@dei.unipd.it \\[1cm]Padova, 1 Giugno 2010}
\end{center}
\end{titlepage}
\tableofcontents
\newpage 
\section{Modello}
In Figure {\ref{schema}} viene riportato lo schema a blocchi oggetto dell'analisi di questa esercitazione.

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Immagini/schema.eps}\\
  \caption{Schema dei processi.}\label{schema}
\end{center}
\end{figure} 

I dati che caratterizzano il sistema sono:
\begin{itemize}
 \item $x(\cdot)$ processo stazionario del secondo ordine con densita spettrale $$S_{X}(e^{j \theta})=\lambda^{2} \frac{2+2\cos2\theta}{2.36-3.2\cos \theta + 1.2 \cos 2\theta} \textrm{   ,   }  \theta \in \left[- \pi,\pi \right]$$
 \item $n(\cdot)$ rumore bianco di varianza $\sigma^{2}$ scorrelato da $x(\cdot)$
 \item $z(\cdot)$ si ottine come somma di $x(\cdot)$ con il rumore bianco additivo $n(\cdot)$ ovvero $$z(t)=x(t)+n(t) \textrm{    ,    } t \in \mathbb{Z}$$
 \item $y(\cdot)$ è il processo delle osservazione, è ottenuto mediante un filtro alimentato da $z(\cdot)$ di funzione di trasferimento $$F(z)=\frac{z+2}{z-0.5} \textrm{    ,   } |z|>0.5$$
\end{itemize}

I parametri $\lambda^{2}$ e $\sigma^{2}$ sono stati inizialmente posti unitari e solo in fase finale si analizza come una variazione del loro rapporto influisca l'efficienza degli interpolari e dello stimatore di wiener.
\\
Per rendere la lettura più scorrevole si è scelto di riportare il codice Matlab con cui si ottengono i risultati solo in appendice.
\section{Spettri dei segnali}

I processi $x(\cdot)$ e $n(\cdot)$ sono scorrelati percui lo spettro di $z(\cdot)$ si ottine semplicemente sommando gli spettri dei due segnali che lo generano: $$S_{z}=S_{x}+S_{n}=\frac{1.6z^{4}-1.6z^{3}+4.36z^{2}-1.6z+1.6}{0.6z^{4}-1.6z^{3}+2.36z^{2}-1.6z+0.6}$$
Lo spettro delle osservazioni $y(\cdot)$, generato come uscita del filtro LTI causale di trasferenza $F(z)$, è possibile calcolarlo sfruttando la formula di Wiener-Kintchine $$S_{y}(e^{j \theta})=F(e^{j \theta})S_{x}(e^{j \theta}) F(e^{j \theta})^{*}$$
da cui si ottiene $$S_{y}(z)=\frac{-3.6z^{6}-4.8z^{5}-3.92z^{4}-15.4z^{3}-3.92z^{2}-4.8z-3.2}{0.3z^{6}-1.55z^{5}+3.48z^{4}-4.55z^{3}+3.48z^{2}-1.55z+0.3}$$
In Figura \ref{spettri} vengono riportati gli spettri dei segnali.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{Immagini/spettri1.eps} 
  \caption{Spettri dei processi.}\label{spettri}
\end{center}
\end{figure}
 
\begin{figure}[htbp!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{Immagini/spettri1.eps}%
  \qquad\qquad
  \includegraphics[scale=0.5]{Immagini/spettri2.eps}
  \caption{Spettri dei processi $x(\cdot)$, $z(\cdot)$ e $y(\cdot)$}
\end{figure}

\section{Calcolo della varianza dei processi}


\section{Appendice}
\end{document}



