\section{Metodi di identificazione ai sottospazi}
I metodi di identificazione a sottospazi sono particolarmente adatti per l'identificazione di sistemi MISO (o MIMO) di grandi dimensioni per la loro efficienza computazionale. Vengono implementati utilizzando strumenti derivati dall'algebra lineare (per effettuare opportune proiezioni ortogonali e oblique) come la decomposizione QR e SVD di cui esistono implementazioni molto efficienti. Si noti che in questo modo si evita l'utilizzo di minimizzazioni ricorsive e quindi si evitano i problemi di convergenza che esse comportano (e che possono capitare con i metodi PEM). Nella prossima sezione verrà analizzato il metodo ai sottospazi

\subsection{Il metodo N4SID}
Date le osservazioni $\{y_1,\ldots,y_T,u_1,\ldots,u_T\}$, $y_t\in \mathbb{R}^p$, $u_t\in \mathbb{R}^m$ il problema è quello di costruire il modello:
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{rcl}
x(t+1) & =& Ax(t)+Bu(t)+Ke(t)\\
y(t) &=& Cx(t)+e(t)
\end{array}\right.
\end{equation}
che descriva i dati (con $e(t)$ rumore bianco).
%Si richiede che il sistema abbia tutti i modi eccitabili dall' ingresso $u$ (stocastico o deterministico) ovvero si richiede la controllabilità della coppia $(A,[BQ^{1/2}])$. Inoltre tutti i modi devono essere osservabili dall'uscita $y$, cioè la coppia $(A,C)$ deve essere osservabile. Il problema è dunque quello di trovare un ordine $n$ per il modello e le matrici $A,B,C,D,Q,R,S$ dati gli ingressi $u_0,\ldots,u_{s-1}$ e le uscite $y_0,\ldots,y_{s-1}$. A partire da una proiezione attraverso una decomposizione ai valori singolari si ottiene una stima dell'ordine e la matrice di osservabilità (e se necessario la sequenza degli stati del sistema). Nel caso di un ingresso deterministico le matrici $A,B,C,D$ del sistema vengono trovate risolvendo in maniera esatta di un opportuno sistema lineare. Nel caso di ingresso stocastico il sistema lineare viene risolto tramite i minimi quadrati e successivamente si ricavano dai residui le matrici di covarianza $Q,S,R$ e di conseguenza gli ingressi stocastici del sistema. In questa trattazione verranno usati alcuni strumenti la cui trattazione completa esula lo scopo prefissato. Per approfondimenti si rimanda a ??. 

A partire dal processo stostico $\mathbf{y}(t)$ si scrivono i dati nella forma $\{y_t,\ldots,y_{t+N-1}\}=\mathbf{Y}_t $ per creare una corrispondenza biunivoca (al crescere del numero $N$ di dati) tra lo spazio astratto di variabili aleatorie $span\{y(t),\ldots,y(s) \}$ e lo spazio generato dalle righe $\mathbf{Y}_t$ della matrice di Henkel diagonale a blocchi:
\begin{equation}
Y_{[t,s]}=
\begin{bmatrix}
y_t & y_{t+1} & \ldots & y_{t+N-1}\\
y_{t+1} & y_{t+2} & \ldots & y_{t+N} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
y_s & y_{s+1} & \ldots & y_{s+N-1}
\end{bmatrix}
\end{equation}
di dimensione $Y_{[t,s]}\in \mathbb{R}^{p(s-t)xN}$ e da questa si definiscono le matrici delle uscite passate e future
\begin{equation}
Y_{[0,2t-1]}=
\begin{bmatrix}
Y_p \\
Y_f
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
Y_{[0,t-1]} \\
Y_{[t,2t-1]}
\end{bmatrix}
\end{equation}
e si svolgono delle operazioni analoghe con i dati d'ingresso $\mathbf{u}(t)$. A questo punto si può costruire una base per lo spazio di stato $X_t$ attraverso una proiezione adatta delle sequenze dei dati e successivamente da questa base si risolve nel senso dei minimi quadrati il sistema:
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\hat{X}_{t+1} & \simeq & A\hat{X}_t+B\hat{U}_t+KE_t \\
Y_t & \simeq & C\hat{X}_t+E_t
\end{array}\right.
\end{equation}
dove $\hat{E}_t:=Y_t-\hat{C}X_t$. 
\\Si definisce poi la matrice di osservabilità del sistema come:
\begin{equation}
\Gamma:=
\begin{bmatrix}
C\\
CA\\
CA^2\\
\vdots \\
CA^f
\end{bmatrix}
\end{equation}
e matrici triangolari inferiori a blocchi di Toeplitz con i parametri di Markov del sistema:
\begin{equation}
H_d=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \ldots & 0 \\
CB & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
CA^{f-1}B & CA^{f-2}B & \ldots & 0
\end{bmatrix} \quad,
\end{equation}
\begin{equation}
H_s=
\begin{bmatrix}
I & 0 & \ldots & 0 \\
CK & I & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
CA^{f-1} & CA^{f-2}K & \ldots & I
\end{bmatrix} \quad .
\end{equation}
 \\ Utilizzando ora la relazione
\begin{equation}
\mathbf{Y}_{[p,p+f]}=\Gamma \mathbf{X}_p+H_d\mathbf{U}_{[p,p+f]}+H_s\mathbf{E}_{[p,p+f]}
\end{equation}
si può effettuare la proiezione obliqua 
\footnote{
La proiezione obliqua \'e la scomposizione in due sottospazi tra loro non ortogonali. Si denota come $\hat{E}_{||B}[\cdot|C_t]$, ossia la proiezione lungo lo spazio generato delle righe di $B$ sullo spazio generato dalle righe di $C_t$. La formula estesa \'e:
\begin{equation}
 \hat{E}_{\|B_t}[A_t|C_t] = \hat{\Sigma}_{ac|b}\hat{\Sigma}_{cc|b}^{-1}C_t
\label{obl}
\end{equation}
Dove sotto le ipotesi di ergodicit\'a le matrici di covarianza campionaria (condizionata e non) sono: $ \hat{\Sigma}_{ab} := \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}a_{t+i}b_{t+i}^{\top} $ e $ \hat{\Sigma}_{ab|c} := \hat{\Sigma}_{ab} - \hat{\Sigma}_{ac}\hat{\Sigma}_{cc}^{-1}\hat{\Sigma}_{cb} $
}
 (mediante decomposizione QR)
\begin{equation}
\Gamma \mathbf{X}_p \simeq \hat{\mathbf{Y}}_{[p,p+f]}:=E_{||\mathbf{U}_{[p,p+f]}}\left[\mathbf{Y}_{[p,p+f]}|\mathbf{Z}_{[0,p)}\right].
\label{proiez_obl}
\end{equation}
%inserire figura

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{figure/proiezione_obliqua.eps}
\caption{Rappresentazione geometrica della proiezione obliqua effettutata in (\ref{proiez_obl})}
\label{proiezione_obliqua}
\end{center}
\end{figure}

Per stimare $\Gamma$  ( e se necessario $\mathbf{X}_p$ ) si utilizza una decomposizione "`SVD pesata"'
\begin{equation}
U_nS_nV_n^T \simeq W_r \hat{\mathbf{Y}}_{[p,p+f]}W_c
\end{equation}
e si ottiene
\begin{equation}
\hat{\Gamma}:=W_r^{-1}U_nS_n^{1/2} \qquad \hat{\mathbf{X}}_p:=\hat{\Gamma}_r^{-L}\hat{\mathbf{Y}}_{[p,p+f]}
\end{equation}