% -----------------------------*- LaTeX -*------------------------------
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\begin{document}

% \course{CS 497}           % optional
% \coursetitle{Geometric Data Structures} % optional
% \semester{Fall 1998}          % optional
% \lecturer{Jeff Erickson}      % optional
\scribe{Guido Albertin, Elena Toffoli, Giancarlo Baldan}        % required
\lecturenumber{8}           % required, must be a number
\lecturedate{Maggio 8}       % required, omit year

\maketitle

%\section{..della lezione precedente}
Nella lezione precedente sono state introdotte la successioni
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  P_k &=& \Phi_{\gamma_k}(P_k) \qquad  \quad \qquad  \bar{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[P_k]\\
  \tilde{P}_{k+1} &=& \mathfrak{L}_{\gamma_k}(K, \tilde{P}_{k}) \qquad \qquad \check{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[\tilde{P}_k]\\
  \check{P}_{k+1} &=& \bar{\mathfrak{L}}_\lambda(K, \check{P}_{k}) \\
  S_{k+1} &=& \Phi_\lambda (S_k)
\end{eqnarray*}
le prime due dipendono direttamente dalla probabilità di perdita di pacchetti nel canale di trasmissione ($\gamma_k$) e sono relative rispettivamente al filtro di Kalman tempo variante ed al filtro a guadagno costante. Le ultime due invece hanno evoluzione deterministica che dipende dalla probabilità di arrivo dei pacchetti $\lambda$.
%E' stata introdotta anche la probabilità critica $\lambda_c$ di arrivo della quale si può calcolare analiticamente il valore solo in alcuni casi particolari, negli altri ci si deve accontentare di definirne un limite superiore ed uno inferiore.
In figura \ref{lez7} viene mostrata una realizzazione dell'andamento delle prime due successioni. $\tilde{P}_{k+1}$ è ottenuta utilizzando un filtro di Kalman con guadagno costante che essendo sub-ottimo rappresenta un limite superiore proprio per il filtro ottimo tempo variante di varianza $P_k \leq \tilde{P}_k$; tale disuguaglianza è valida anche nel caso si consideri l'aspettazione dei due termini quindi, sebbene non siamo in grado di calcolare esplicitamente $\bar{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[P_k]$, possiamo affermare che certamente sarà inferiore a $\check{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[\tilde{P}_k]$. Nel caso in cui quest'ultima diverga ($\lambda < \lambda_c$) non saremo in grado di decidere a proposito della convergenza di $\bar{P}_k$.
% disegnino..più commenti vari

%\begin{equation*}
%    \bar{P}_N \simeq \sum^N_{i=1} P_k^i
%\end{equation*}

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=8cm]{primo.eps}\\
  \caption{La successione $\tilde{P}_{k+1}$ è ottenuta utilizzando un filtro di Kalman con guadagno costante che essendo sub-ottimo rappresenta un limite superiore proprio per il filtro ottimo $P_k \leq \tilde{P}_k$. La relazione è valida anche per l'aspettazione dei due termini.} \label{lez7}
  \end{center}

\end{figure}


\section{Stimatore ottimo con sensori intelligenti e perdita di pacchetti}
Gli stimatori che abbiamo considerato sinora si basano sulla trasmissione attraverso una rete di comunicazione digitale delle misure ottenute dal sistema istante per istante con la possibile perdita di alcuni pacchetti di dati.
Invece di trasmettere tutte le misure si può pensare di calcolare e inviare sul canale la stima dello stato; la stima fatta all'interno del sensore contiene l'informazione di tutte le misure fino all'istante $k$
\begin{equation}
    \mathbb{E} [ x_{k+1} | \underbrace{y_0, \, \ldots \, , \, y_k}_{tutte\, le\, misure\, senza\, perdita} ] = \mathbb{E} [ x_{k+1} | \hat{x}_{k|k}]
\end{equation}
e offre per questo motivo prestazioni migliori se confrontate con quelle del filtro di Kalman tempo variante soggetto a perdita di pacchetti visto in precedenza. Lo schema a cui si fa riferimento è rappresentato in figura \ref{conFiltro}.

%%%%%%%%%% inserire immagine %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[H]
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=16cm]{rete.eps}\\
  \caption{Rete digitale per la trasmissione di dati}\label{conFiltro}
\end{figure}
Per contro questa tecnica è applicabile solo se il sensore possiede risorse computazionali necessarie al calcolo della stima ed è in grado di contenere tutte le misure raccolte; sensori con queste caratteristiche vengono in genere definiti intelligenti (o \emph{smart}). Altre ipotesi sulle quali si basa quest'architettura sono che non vi siano perdite prima del calcolo della stima e che le misure vengano compiute da un solo sensore; nel caso vi siano più sensori che raccolgono misure sarà piuttosto complesso ricostruire sulla base delle sole stime locali quella globale.
All'interno del sensore la stima dello stato viene calcolata sulla base delle tradizionali equazioni del filtro di Kalman:
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  \hat{x}_{k+1|k+1}^l&=& \mathbb{E}[x_{k+1} | y_0, \ldots , y_{k+1}] = A \hat{x}_{k|k}^l + K_{k+1}(y_{k+1} - C A \hat{x}_{k|k}^l)\\
  P_{k+1|k}^l &=& \Phi_1 (P_{k|k-1})\\
  K_k^l &=& P_k^l C^T (C P_k^l C^T + R)^{-1}.
\end{eqnarray*}
Sotto opportune condizioni il guadagno del filtro converge ($K_k \rightarrow K_\infty$) ed in questo caso risulta computazionalmente meno oneroso utilizzare tale valore limite rinunciando così all'ottimalità del filtro e quindi peggiorandone le prestazioni.
Lo stato stimato verrà poi trasmesso sul canale sul quale si potrà avere perdita di pacchetti; nel caso in cui la stima non venga ricevuta per l'aggiornamento ci si baserà sull'evoluzione dello stato in catena aperta
\begin{eqnarray*}
    \hat{x}_{k+1|k}^s & = & A \hat{x}_{k|k}^s = A \hat{x}_{k|k}^l + K_{k+1} ( 1 - C A\hat{x}_{k|k}^l ) \\
    P_{k+1}^s & = & \mathbb{E}[ (x_{k+1}-\hat{x}_{k+1|k}^s) (x_{k+1}-\hat{x}_{k+1|k}^s)^T | \gamma_0, \ldots , \gamma_k]
\end{eqnarray*}
dove $$\hat{x}_{k|k}^s = \gamma_k \hat{x}_{k|k}^l + (1-\gamma_k)A \hat{x}_{k-1|k-1}^l$$
mentre $\gamma_k$ è la variabile aleatoria che rappresenta la probabilità che alcune stime non vengano ricevute.
Come accennato in precedenza questa tecnica fornisce un limite inferiore alle prestazioni del filtro ottimo tempo variante basato sulle misure; tale disuguaglianza continua a valere anche se si considera l'aspettazione di entrambi i termini
$$P_k^s \leq  P_k \qquad  \Rightarrow \qquad \mathbb{E}[P_k^s] \leq  \mathbb{E}[P_k].$$
Per il calcolo di $\mathbb{E}[P_k^s]$ è necessario introdurre l'errore di stima
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  e_{k+1|k}^s &=& x_{k+1} \, - \, \hat{x}_{k+1|k}^s \, =\, (\,1\,-\,\gamma_k\,+\,\gamma_k\,) \, x_{k+1} \, - \, \hat{x}_{k+1|k}^s \,= \\
   &=& \gamma_k \, x_{k+1} \, + \, (\,1\,-\,\gamma_k\,)\,(\,A\, x_k \,+\,w_k \,)\,- \,A\,(\,\gamma_k \,\hat{x}_{k|k}^l\,+\,(\,1\,-\,\gamma_k\,)\, \hat{x}_{k|k-1}^s\, )\,=\\
   &=& \gamma_k \,(\underbrace{\,x_{k+1}\, -\,\hat{x}_{k+1|k}^l \,}_{errore\,al\,sensore})\,+\,(\,1\,-\,\gamma_k\,)\,A\,(\underbrace{\,x_k\,-\,\hat{x}_{k|k-1}^s\,}_{errore\,allo\,stimatore})\,+\,(\,1\,-\,\gamma_k\,)\,w_k
\end{eqnarray*}
da cui la varianza
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  P_{k+1}^s &=& \gamma_k \,P_{k+1}^l \,+\,(\,1\,-\,\gamma_k\,)\,A\,(\,x_k\,-\,P_{k}^s\,)\,A^T\,+\,(\,1\,-\,\gamma_k\,)\,Q = \\
   &=& \mathcal{L}_{\gamma_k}^s (P_k^s) .
\end{eqnarray*}
Rifacendoci a quanto visto nelle lezioni precedenti abbiamo ora a disposizione due successioni che ci permettono di limitare, sia superiormente (con stimatore a guadagni costanti) che inferiormente  (con sensori intelligenti), una quantità che non siamo in grado di calcolare in maniera diretta
\begin{equation*}
    P_k^s \leq P_k \leq \tilde{P}_k,
\end{equation*}
tale relazione vige anche per la media delle stesse successioni, in particolare
\begin{equation*}
   \mathbb{E} [P_k^s] \leq \mathbb{E} [P_k] \leq \mathbb{E} [\tilde{P}_k] \, .
\end{equation*}
Sia $P_k$ che $P_k^s$ sono variabili aleatorie funzioni dei valori di ${\gamma_k}$. Se $\gamma_k$ è di tipo Bernoulliano con $\mathbb{P}[\gamma_k=1]=\lambda \in [0,1]$  possiamo ricavare una forma esplicita della media della successione ${P_k^s}$, che indicheremo con $\bar{P}_k^s=\mathbb{E}_{\gamma}[P_k^s] $, allo scopo di valutarne la convergenza
\begin{eqnarray*}
    \bar{P}_{k+1}^s &=& \lambda \bar{P}_{k+1}^l + (1- \lambda) A\bar{P}_{k}^s A^T + (1- \lambda) Q = \\
    &=&\sqrt{1- \lambda} \,A\,\bar{P}_{k}^s\, \sqrt{1- \lambda} \,A^T +D_k\,= \\
    &=& \mathcal{L}_\lambda^s(\bar{P}_{k})
\end{eqnarray*}
con $D_k= (1- \lambda) Q + \lambda \bar{P}_{k+1}^l \geq 0$. Dato che $P_k^l \rightarrow P_\infty^l$, dove $P_\infty^l= \Phi_1 (P_\infty^l)$, $\bar{P}_k^s$ converge al limite per $k \rightarrow \infty$ se e solo se $A_s = \sqrt{1- \lambda} \,A$ è stabile ovvero se solo se
\begin{equation*}
    \lambda > 1-  \frac{1}{max_i |\sigma_i (A)|^2} \,.
\end{equation*}
La convergenza  di $\check{P}_k=\mathbb{E}_{\gamma}[\tilde{P}_k]$, come visto in precedenza, è garantita da $\lambda > \lambda_c$. In figura \ref{confronto} viene mostrato l'andamento delle tre successioni. $\tilde{P}_{k+1}$ è ottenuta utilizzando un filtro di Kalman con guadagno costante che essendo sub-ottimo rappresenta un limite superiore proprio per il filtro ottimo tempo variante, al contrario $P_{k+1}^s$ offre un limite inferiore della stessa $P_k$. Quindi, sebbene non siamo in grado di calcolare esplicitamente $\bar{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[P_k]$, possiamo affermare che certamente il suo andamento sarà compreso tra quello di $\check{P}_k = \mathbb{E}_\gamma[\tilde{P}_k]$ e quello di $\bar{P}_k^s=\mathbb{E}_{\gamma}[P_k^s] $. Nel caso in cui quest'ultima diverga certamente divergerà anche $\bar{P}_k$ se invece a divergere dovesse essere $\check{P}_k $ non saremo in grado di dire niente sulla convergenza di $\bar{P}_k$.

\begin{figure}[H] \begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=10cm]{secondo.eps}\\
  \caption{La successione $\tilde{P}_{k+1}$ è ottenuta utilizzando un filtro di Kalman con guadagno costante che essendo sub-ottimo rappresenta un limite superiore proprio per il filtro ottimo, al contrario $P_{k+1}^s$ offre un limite inferiore della stessa $P_k$ da cui $P_k^s \leq P_k \leq \tilde{P}_k$; tale disuguaglianza è valida anche nel caso si consideri l'aspettazione dei termini quindi.}\label{confronto}
\end{center}

\end{figure}
\section{Stimatori ottimi con ritardo e perdita di pacchetti}
\begin{figure}[H]
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[width=16cm]{conritardo.eps}\\
  \caption{Rete digitale per la trasmissione di dati}\label{fyh}
\end{figure}
Passiamo ora ad analizzare il caso in cui il canale di trasmissione introduce un ritardo aleatorio $\tau_k$; un ritardo infinito sarà assimilabile alla perdita del pacchetto di dati. Il nostro scopo sarà quello di stimare lo stato al generico istante $t$

\begin{equation*}
    \hat{x}_{t|t} = \mathbb{E} [ \,x_t\,|\, misure\,\, arrivate\,\, fino \,\,al\,\, tempo \,\,t].
\end{equation*}
\end{document}
