%\paragraph{\emph{Hidden Markov Models}}


Il modello matematico che si presta meglio ad essere utilizzato per descrivere il problema affrontato è quello delle catene di Markov nascoste (HMM: \emph{Hidden Markov Models}) a  stati finiti. La sostanziale differenza con le catene di Markov usuali è che non si conosce lo stato nell'istante di interesse ma si cerca di desumerlo dall'osservazione dei simboli emessi dal sistema, i quali si verificano con probabilità che dipendono non solo dal simbolo stesso, ma anche dallo stato in cui questo viene emesso. 
In realtà, nel problema trattato, la corrispondenza tra stati e osservazioni è molto stretta: dato che gli stati non sono altro che una codifica univoca dell'osservazione, si ha che ad ogni stato corrisponde sempre una sola osservazione e viceversa, quindi la matrice $B$ definita poco più avanti è l'identità (il ""viceversa'' è però vero solo all'inizio della trattazione, si rimanda infatti al capitolo \ref{sec:split}). 
Sembra dunque che la caratteristica fondamentale di un HMM venga meno; di fatto però si affronterà il problema che alcuni stati possono essere spezzati in due, e quindi, all'inizio, si ha che una di queste parti non è nota.
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Si elencano di seguito gli elementi che caratterizzano un \emph{Hidden Markov Model} (molti dei quali sono gli stessi delle catene di Markov semplici).
\begin{itemize}

\item $N$: numero di stati del modello (sebbene nascosti, di solito è comunque possibile dire qual è la loro numerosità). Essi sono estratti da un insieme 
$\mathcal{S} = \left\lbrace S_1, S_2, \dots, S_N \right\rbrace $ 
e un singolo stato all'istante $t$ è indicato con $q_t$. 

\item $M$: numero di osservazioni distinte che possono verificarsi. Esse sono estratte da un insieme 
$\mathcal{V} = \left\lbrace v_1, v_2, \dots, v_M \right\rbrace $ e una sequenza è indicata col simbolo $O$. 

\item $A$: matrice delle probabilità di transizione, i cui elementi sono
\begin{equation}
a_{ij} = \mathcal{P} [q_{t+1} = S_j |q_t = S_i] \qquad 1 \leq i,j \leq N
\end{equation}
e hanno le proprietà $a_{ij} \geq 0$ e $\sum_{j=1}^N =1$\,.

\item $B$: matrice delle probabilità di emissione, i cui elementi sono
\begin{equation}
b_{ij} = \mathcal{P} [v_i \text{ al tempo $t$} | q_t = S_j] \qquad 1 \leq i \leq M \,, \quad 1 \leq j \leq N \,.
\end{equation}


\item $\pi$ : distribuzione iniziale di probabilità di essere nei vari stati, di componenti
\begin{equation}
\pi_i = \mathcal{P} [q_1 = S_i] \qquad 1 \leq i \leq N\,.
\end{equation}

\end{itemize}








