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\newcommand{\mycaption}[1]{\caption{{\footnotesize #1}}}

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\begin{document}
%\transduration{1}

%\title{PROGETTO 1 VIDEOSORVEGLIANZA}
%\subtitle{Mappatura e identificazione rete di videosorveglianza}
\subtitle{\textbf{\large CREAZIONE DI UN GRAFO FISICO-LOGICO \\ PER UNA RETE DI VIDEOCAMERE E NON SOLO}}
%\subtitle{Mappatura e identificazione rete di videosorveglianza}
\author{\begin{table}
	\centering	
	\begin{tabular}{ccc}
Riccardo Ghirardello & Roberto Guiotto & Fabio Paggiaro\\
Matr. 607377/IAM & Matr. 601527/IAM & Matr. 603370/IAM
\end{tabular}
\end{table}}\institute{Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione}
\pgfdeclareimage[height=1.5cm]{logo}{dei}
\titlegraphic{\pgfuseimage{logo}}
\date{Padova, 18 Febbraio 2010}



\begin{frame}

%\textcolor{white}{\_}\\[1cm]
\begin{center}
\textcolor{red!70!black}{\Large  UNIVERSIT\`A DEGLI STUDI DI PADOVA\\}
\vspace{0.5cm}\includegraphics[width=2cm]{unipdlogo}\\[0.5cm]
Facolt\`a di Ingegneria\\Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell'Automazione\\[1cm]{\large Progettazione di Sistemi di Controllo a.a. 2009/2010\\} \vspace{1cm}

%\\[1cm]Padova, 20 Febbraio 2010
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}

%
%\begin{frame}
%  \frametitle{Indice}   
%\begin{itemize}
%	\item<+-| alert@+> Definizione del Problema
%	\item<+-| alert@+> Simulatore
%	\item<+-| alert@+> Split
%	\item<+-| alert@+> HMM
%\end{itemize} 
%\end{frame}

\section{Introduzione} 
\subsection{}

\begin{frame}
\frametitle{Indice}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\textwidth}
\begin{itemize}
	\item<+-> Scenario applicativo
	\item<+-> Formalizzazione del Problema
	\begin{itemize}
		\item[--] Ipotesi e assunzioni
		\item[--] Hidden Markov Models (HMM)
		\item[--] Grafo delle transizioni
	\end{itemize}
	\item<+-> Algoritmi e Strumenti utilizzati
	\begin{itemize}
		\item[--] Simulatori per la generazione dei dati
		\item[--] Algoritmo di Baum
		\item[--] Metodo di \emph{Split}
	\end{itemize}
	\item<+-> Simulazioni e risultati
	\begin{itemize}
		\item[--] Caso ""corridoio''
		\item[--] Caso generico
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.35\textwidth}
\pgfputat{\pgfxy(0,1.5)}{\pgfbox[left,top]{\includegraphics[width=0.95\textwidth]{figure/cartello-videosorveglianza}}} % figura un po + alta
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

%--------------Parte Introduzione------------
%\section{Scenario applicativo} 

\begin{frame}
\frametitle{Scenario applicativo}
\pgfimage[width=0.98\textwidth]{figure/controllroom}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Ambiti di applicazione}
\framesubtitle{Ambiente 1: Museo dell'automobile di Torino ``Carlo Biscaretti di Ruffia''}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth  , angle=-90]{figure/museoautomobile} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ambiti di applicazione}
\framesubtitle{Ambiente 2: Stazione dei treni}
\pgfimage[width=0.98\textwidth]{figure/stazione}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Ambiti di applicazione}%Ambiente reale di applicazione
\framesubtitle{Ambiente 3: Parcheggio interrato}
\pgfimage[width=0.98\textwidth]{figure/parcheggio}
\end{frame}

%\frame{
%\frametitle{Adsorbimento}
%L'assorbimento è un processo...\begin{itemize}
%\item<2-> absorbimento, se l'accumulo delle specie...
%\item<3->adsorbimento, se l'accumulo delle specie...:\begin{itemize}
%\item<6->\emph{adsorbimento fisico}, prodotto da forze di attrazione elettrostatica ...
%\item<7->\emph{adsorbimento chimico}, dovuto a reazioni chimiche...
%\end{itemize}
%\end{itemize}
%\begin{columns}
%\column{.5\textwidth}\only<4>{\includegraphics[scale=.4]{figure/parcheggio}}
%\only<5->{\includegraphics[scale=.4]{figure/parcheggio2}}
%\column{.5\textwidth}\onslide<4->{Il carbone attivo prende il nome di adsorbente\\\includegraphics[scale=.4]{figure/museoautomobile}Adsorbato}
%\end{columns}}

%--------------------------------------------

%-----Parte formalizzazione del problema---------
\section{Formalizzazione del Problema}

\subsection{}

\frame{
\frametitle{Formalizzazione del Problema}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\textwidth}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Ipotesi e assunzioni}}
\begin{itemize}
\item<2-> Area 25x50 m monitorata da K=11 VCC
\item<3->Caratteristiche telecamere:\begin{itemize}
\item[--]raggio visibilità 20 m
\item[--]angolo visuale 30°
\item[--]25 frame/s
\item[--]statiche (no PTZ)
\end{itemize}
\item<4->Traiettoria random in relazione alla dislocazione delle VCC
\item<5->Sistemi di visione computazionale assodati
\item<6->Dati binari forniti dalle VCC:\begin{itemize}
\item[--]dominio $\left\{0,1\right\}^K$
\item[--]stati effettivi $N<<2^K$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.35\textwidth}
%\column{.5\textwidth}\only<4>{\includegraphics[scale=.4]{pictures/Caratteristica_telecamera}}
%\only<5->{\includegraphics[scale=.4]{figure/parcheggio2}}
%\column{.5\textwidth}\onslide<4->{{\includegraphics[scale=.4]{pictures/Caratteristica_telecamera}}}
\onslide<3-> \begin{pgfpicture}{0cm}{0cm}{1cm}{1cm}
\pgfputat{\pgfxy(0,2.5)}{\pgfbox[left,top]{\includegraphics[width=0.95\textwidth]{pictures/Caratteristica_telecamera}}}
\onslide<6->\pgfputat{\pgfxy(-0.5,-1)} {\pgfbox[left,top]{\includegraphics[width=1.1\textwidth]{pictures/datiVECCHI}}} 
\end{pgfpicture}
\end{column}
\end{columns}}


\begin{frame}
\frametitle{Ipotesi e Assunzioni}
\begin{pgfpicture}{0cm}{0cm}{1cm}{1cm}
\pgfputat{\pgfxy(0,3.5)}{\pgfbox[left,top]{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{pictures/COLORATO_CON_DESCRIZIONE}}}
\pgfputat{\pgfxy(5,0)} {\pgfbox[left,top]{\includegraphics[width=0.6\textwidth]{graphs/traiettoriacorridoio}}} 
\end{pgfpicture}
\end{frame}

%\subsection{Obiettivi}
\begin{frame}
\frametitle{Formalizzazione del Problema}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Obiettivi}}
\begin{itemize}
\vspace{0.3 cm}
\item<2-> Costruzione iniziale del Grafo Iniziale
\vspace{0.3 cm}
\item<3-> Ricerca ""stati nascosti''  \: $\Longrightarrow$ \: Grafo Aggiornato
\vspace{0.3 cm}
\item<4-> Scopo ultimo: supportare un sistema di predizione ""intelligente''
\vspace{0.3 cm}
\item<5-> Indice di prestazione
\begin{equation*}
\eta \; = \; \frac{\displaystyle \sum_{t=0}^{T-2} \mathcal{P}[\hat{y}_{t+1} = y_{t+1} | y_{0:T-1}]}{T-1}
\end{equation*}
%\vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}


%\subsection{HMM}
\begin{frame}
\frametitle{Formalizzazione del Problema}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Hidden Markov Models (HMM)}}
\begin{itemize}
\item $N$: numero di stati del modello.
$q_t\in\mathcal{S} = \left\lbrace S_1, S_2, \dots, S_N \right\rbrace $
\item $M$: numero di osservazioni, di cui $O$ indica una sequenza.
$\mathcal{V} = \left\lbrace v_1, v_2, \dots, v_M \right\rbrace $ 
\item $A$: matrice delle probabilità di transizione
\begin{equation*}
a_{ij} = \mathcal{P} [q_{t+1} = S_j |q_t = S_i] \qquad 1 \leq i,j \leq N
\end{equation*}
con proprietà $a_{ij} \geq 0$ e $\sum_{j=1}^N =1$
\item $B$: matrice delle probabilità di emissione
\begin{equation*}
b_{ij} = \mathcal{P} [v_i \text{ al tempo $t$} | q_t = S_j] \qquad 1 \leq i \leq M \,, \quad 1 \leq j \leq N 
\end{equation*}
\item $\pi$ : distribuzione iniziale di probabilità
\begin{equation*}
\pi_i = \mathcal{P} [q_1 = S_i] \qquad 1 \leq i \leq N
\end{equation*}

\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Formalizzazione del Problema}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Grafo delle transizioni, associato alla catena di Markov}}
\begin{itemize}
\item<1-> Ad ogni nodo è associato uno stato $S_i$
\vspace{0.3 cm}
\item<2-> Gli archi orientati sono etichettati dalle probabilità di transizione $a_{ij}$
\vspace{0.3 cm}
\item<3-> Ad ogni stato $S_i$ corrisponde sempre un'unica osservazione $v_j$
\vspace{0.3 cm}
\item<4-> Il viceversa è vero solo all'inizio \:  $\Longrightarrow$ \: \textbf{STATI NASCOSTI}
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/GrafoEsempio} %height=0.8\textheight
\end{center}


\end{frame}

%--------------------------------- ALGORIMO DI BAUM ----------


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}}
\vspace{0.3 cm}

\begin{itemize}
\item Utilizzo: dati  i parametri stimati $(A,B,\pi)$ e una sequenza di osservazioni $O$, 
aggiusta i parametri in modo da massimizzare la probabilità che $O$ sia generata dal modello.\\
\[
\bar{\lambda} = (\bar{A},\bar{B},\bar{\pi})
\]
\vspace{0.2 cm}
\item Risultato: iterando ripetutamente, massimizzazione almeno locale perchè ad ogni passo
\[\mathcal{P}[O|\bar{\lambda}] \geq  \mathcal{P}[O|\lambda]\]
\end{itemize}


\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\vspace{0.1cm} 
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}}
\begin{subequations}
\begin{align}
\alpha_t(i) &= \mathcal{P}[O_1,O_2,\dots ,O_t,q_t=S_i | \lambda] = \notag  \\ 
 &= \left[ \textstyle \sum_{i=1}^{N} \alpha_{t-1}(i)a_{ij} \right] b_j(O_{t}) \qquad 2 \leq t \leq T \qquad  1 \leq j \leq N  \notag  \\
\vspace{0.1cm}  \notag \\
\beta_t(i) &= \mathcal{P} [O_{t+1},O_{t+2},\dots ,O_T | q_t=S_i,\lambda]=  \notag \\ 
 &= \textstyle \sum_{j=1}^{N} a_{ij} b_j(O_{t+1}) \beta_{t+1}(j)  \qquad t=T-1,T-2,\dots,1 \qquad 1 \leq i \leq N   \notag \\ 
\vspace{0.1cm}  \notag \\
\xi_t(i,j) &= \mathcal{P}[q_t=S_i, q_{t+1}=S_j | O,\lambda ] =\notag \\
 &= \frac{\alpha_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) \beta_{t+1}(j)}{\mathcal{P}[O | \lambda]}  \notag \\
\vspace{0.1cm}  \notag \\
\gamma_t(i) &= \mathcal{P}[q_t=S_i | O,\lambda ] = \textstyle \sum_{j=1}^N \xi_t(i,j) \notag 
\end{align}
\end{subequations}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\vspace{0.3cm} 
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}} \qquad\qquad ---  \textbf{Ri-stima dei parametri } ---
\begin{subequations}
\begin{align}
\begin{split}
\bar{\pi}_i &= \text{numero atteso di volte nello stato $S_i$ al tempo $t=1$} \\
&= \gamma_1(i) 
\end{split} \notag \\
\ \vspace{0.1cm}  \notag \\
\begin{split}
\label{eq:ri-stima per a}
\bar{a}_{ij} &= \frac{\text{numero atteso di transizioni da $S_i$ a $S_j$}}{\text{numero atteso di transizioni da $S_i$}}  \\
&=\frac{\sum_{t=1}^{T-1} \xi_t(i,j)}{\sum_{t=1}^{T-1} \gamma_t(i)} 
 = \frac{ \sum_{t=1}^{T-1} \alpha_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) \beta_{t+1}(j)}
{ \sum_{t=1}^{T-1} \sum_{j=1}^N \alpha_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) \beta_{t+1}(j)} \qquad (\bigstar)
\end{split} \notag  \\
\ \vspace{0.1cm}  \notag \\
\begin{split}
\bar{b}_j(k) &= \frac{\text{numero atteso di volte di essere nello stato $S_j$ e osservare $v_k$}}{\text{numero atteso di volte di essere nello stato $S_j$ }}  \\
&= \frac{\sum_{\underset{\text{t.c.} \, O_t=v_k}{t=1}}^{T-1} \gamma_t(j)}{\sum_{t=1}^{T-1} \gamma_t(i)}
\end{split}\notag
\end{align}
\end{subequations}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\vspace{0.3cm} 
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}} \\
\vspace{0.3cm} 
\textbf{Versione scalata}
\vspace{0.3cm} 
\begin{itemize}
\item Problema: sequenze di osservazioni molto lunghe \\ \qquad $\Rightarrow$\quad $\alpha,\beta \rightarrow 0$\quad  $\Rightarrow$ \quad precisione calcolatore insufficiente
\vspace{0.3cm} 
\item Soluzioni: \begin{enumerate}
			\item effettuare un riscalamento di tali variabili
			\item passare ai logaritmi delle probabilità 
			\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\vspace{0.3cm} 
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}} \\
\vspace{0.3cm} 
\textbf{Versione scalata}\\
\vspace{0.3cm} 
Inizializzazione: \:$\tilde{\alpha}_0(j) = \alpha_0(j)$, \quad $c_0 = 1/\sum_{j=1}^N \tilde{\alpha}_0(j) $ \quad $\hat{\alpha}_0(j) = c_0\tilde{\alpha}_0(j)$\\
\vspace{0.5cm} 
Iterazione:\qquad $
\tilde{\alpha}_t(j) =  \sum_{i=1}^{N} \hat{\alpha}_{t-1}(i) a_{ij}  b_j(O_t), \qquad
c_t = \frac{1}{ \sum_{j=1}^N \tilde{\alpha}_t(j)} $
%\vspace{0.2cm} 
\ \\
 \begin{subequations}
\begin{align} \text{Quindi} \quad
\hat{\alpha}_t(j) &= c_t \tilde{\alpha}_t(j) = c_0 c_1 \cdots c_t \alpha_t(j)= \Bigl[ \textstyle \prod_{s =1}^t c_s \Bigr] \alpha_t(j) \notag \\
\hat{\alpha}_t(j) &= \frac{ \sum_{i=1}^{N} \hat{\alpha}_{t-1}(i) a_{ij}  b_j(O_t)}{\sum_{j=1}^{N} \sum_{i=1}^{N} \hat{\alpha}_{t-1}(i)a_{ij}  b_j(O_t)} \notag \\
&=  \frac{ \sum_{i=1}^{N} \alpha_{t-1}(i)\left[ \prod_{s=1}^{t-1} c_s \right] a_{ij}  b_j(O_t)}{ \sum_{j=1}^{N} \sum_{i=1}^{N} \alpha_{t-1}(i)\left[ \prod_{s =1}^{t-1} c_s \right] a_{ij}  b_j(O_t)} = \frac{\alpha_t(j)}{ \sum_{j=1}^N \alpha_t(j)} \notag
\end{align}   
\end{subequations}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\vspace{0.3cm} 
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Algoritmo di Baum}} \\
\vspace{0.3cm} 
\textbf{Versione scalata}\\
\vspace{0.3cm}
{\small
Analogamente $\hat{\beta}_t(i) = c_t \beta_t(i)$ . \: Mettendo insieme il tutto si ottiene:
 \begin{subequations}
\begin{align}
\bar{a}_{ij} &= \frac{\displaystyle \sum_{t=1}^{T-1} \hat{\alpha}_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) \hat{\beta}_{t+1}(j)}
{\displaystyle \sum_{t=1}^{T-1}\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\alpha}_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) \hat{\beta}_{t+1}(j)}=\notag\\
&= \frac{\displaystyle \sum_{t=1}^{T-1} C_t \alpha_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) D_{t+1} \beta_{t+1}(j)}
{\displaystyle \sum_{t=1}^{T-1} \sum_{j=1}^N C_t \alpha_t(i) a_{ij} b_j(O_{t+1}) D_{t+1} \beta_{t+1}(j)} 
=(\bigstar)\notag
\end{align}
\end{subequations}
dove nell'ultimo passaggio si usa: $C_t D_{t+1} = \prod_{s=1}^t c_s \prod_{s=t+1}^T c_s = \prod_{s=1}^T c_s = C_T$
}
\end{frame}
%--------------------------------- --------------- ----------




%--------------------------------- SIMULATORE DATI ----------
\section{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\subsection{}

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.3 cm}

1 -- Simulatore di traiettorie

\vspace{0.3 cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{graphs/traiettoria_random} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}

\only<1>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}

\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere-1} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & \ & \ &  \ \\
1 & \ & \ &  \ \\
2 & \ & \ &  \ \\
3 & \ & \ &  \ \\
4 & \ & \ &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<2>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}

\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere0} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & \ & \ &  \ \\
2 & \ & \ &  \ \\
3 & \ & \ &  \ \\
4 & \ & \ &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<3>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}

\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere1} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & \ & \ &  \ \\
3 & \ & \ &  \ \\
4 & \ & \ &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<4>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere2} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & \ & \ &  \ \\
4 & \ & \ &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<5>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere3} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & \ & \ &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<6>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere4} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & 0 & 1 &  \ \\
5 & \ & \ &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<7>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere5} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & 0 & 1 &  \ \\
5 & 0 & 1 &  \ \\
6 & \ & \ &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}


\only<8>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere6} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & 0 & 1 &  \ \\
5 & 0 & 1 &  \ \\
6 & 1 & 1 &  \ \\
7 & \ & \ &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}


\only<9>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere7} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & 0 & 1 &  \ \\
5 & 0 & 1 &  \ \\
6 & 1 & 1 &  \ \\
7 & 0 & 1 &  \ \\
8 & \ & \ &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}

\only<10>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere8} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  \ \\
1 & 0 & 0 &  \ \\
2 & 1 & 0 &  \ \\
3 & 0 & 0 &  \ \\
4 & 0 & 1 &  \ \\
5 & 0 & 1 &  \ \\
6 & 1 & 1 &  \ \\
7 & 0 & 1 &  \ \\
8 & 0 & 0 &  \ \\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}


\only<11>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere9} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
1 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
2 & 1 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_3$\\
3 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
4 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: S_2$\\
5 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: S_2$\\
6 & 1 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: S_4$\\
7 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: S_2$\\
8 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
}


\only<12>{\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.2 cm}
2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta
\vspace{0.3 cm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/Esempio2telecamere10} %height=0.8\textheight
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{c |c  c l}
t & VCC1 &  VCC2 \\
\cline{1-3}
0 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
1 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
2 & 1 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_3$\\
3 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
4 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: \textcolor{green!70!black}{S_2}$\\
5 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: \textcolor{green!70!black}{S_2}$\\
6 & 1 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: S_4$\\
7 & 0 & 1 &  $\rightarrow \:\:\: \textcolor{red}{S_2}$\\
8 & 0 & 0 &  $\rightarrow \:\:\: S_1$\\
\end{tabular}
\end{column}
\end{columns}
} 

\end{frame}



\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Simulatori}}\\
\vspace{0.3 cm}

2 -- Simulatore per tradurre i campioni nella tipologia dei dati voluta

\vspace{0.3 cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.88\textwidth]{graphs/FiguraBellissimaDaStampareX} %height=0.8\textheight
\end{center}


\end{frame}

%--------------------------------- --------------- ----------




%--------------------------------- SPLIT ----------


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{\emph{Split} degli stati}}\\
\vspace{1cm}
Due tipi possibili:
\vspace{0.8cm}
\begin{enumerate}
	\item split di tipo ""fisico''
\end{enumerate}
\pgfputat{\pgfxy(8,0)}{\pgfbox[center,center]{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/2TelecamereIncrociate}}}
\end{frame}


\begin{frame}
\only<1>{
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\begin{itemize}
		\item[2.] split di tipo ""logico''
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pictures/EsempioSplitLogico000} %height=0.8\textheight
\end{center}
}
\only<2>{
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\begin{itemize}
		\item[2.] split di tipo ""logico''
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pictures/EsempioSplitLogico111} %height=0.8\textheight
\end{center}}
\only<3>{
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\begin{itemize}
		\item[2.] split di tipo ""logico''
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pictures/EsempioSplitLogico222} %height=0.8\textheight
\end{center}}
\only<4>{
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\begin{itemize}
		\item[2.] split di tipo ""logico''
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pictures/EsempioSplitLogico333} %height=0.8\textheight
\end{center}
}


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}



\begin{columns}
\begin{column}{0.4\textwidth}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{\emph{Split} degli stati}}\\
\vspace{0.5cm}
Un semplice esempio:\\
\vspace{0.5cm}
%\begin{table}[!h]
%\centering
\begin{tabular}{l | c c c c r}
\hline
$S_{i-1}$ & $S_a$ & $S_b$ & $S_b$ & $S_c$ & $S_c$ \\
$S_{i+1}$ & $S_b$ & $S_a$ & $S_c$ & $S_a$ & $S_c$ \\
\hline
\end{tabular}
%\end{table}
\\
\vspace{0.5cm}
%\begin{table}[!h]
%\centering
\begin{tabular}{ l  c | c c r |}
  &  & \multicolumn3{c|}{$S_{i-1}$}\\
  &  & $S_a$ & $S_b$ & $S_c$ \\
\hline
\multirow{3}*{ $S_{i+1}$} & $S_a$  &  0   &   2   &   4 \\
   & $S_b$  &  5   &   0   &   0 \\
   & $S_c$  &  0   &   3   &   1 \\
\hline
\end{tabular}\\
%\end{table}
\vspace{0.5cm}
\mbox{Indice per eseguire split: $\sigma_{xy}=\frac{x^T\cdot y}{\Vert x \Vert \Vert y\Vert}$}
\end{column}

\begin{column}{0.5\textwidth}
%\begin{flushright}
\flushright
\includegraphics[width=1.2\textwidth]{pictures/schema_esempio_colorato} %height=0.8\textheight
%\end{flushright}
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{pictures/schema_esempio_sottoinsiemi} %height=0.8\textheight
\end{center}
\vspace{1cm}
\end{column}

\end{columns}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{\emph{Split} degli stati}}\\
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{pictures/splitnodogenerico} %height=0.8\textheight
\end{center}
\begin{itemize}
	\item Come cambia $A$?
	\item Come cambia $B$?	
\end{itemize}

\pgfputat{\pgfxy(8,-1)}{\pgfbox[right,base]{\pgfimage[width=0.35\textwidth]{pictures/AggiornamentoMatriciAeC}}}
 
\end{frame}


%--------------------------------- --------------- ----------



%--------------------------------- Metodo Complessivo ----------

\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Metodo di soluzione complessivo}}\\
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=1.05\textwidth]{pictures/Flusso_totale} %height=0.8\textheight
\end{center}
 
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}

\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Metodo di soluzione complessivo}}\\
\vspace{0.3cm}
\begin{columns}

\begin{column}{0.5\textwidth}

\textbf{Indice di prestazione}
\[ \eta = \frac{\displaystyle \sum_{t=0}^{T-2} \mathcal{P}[\hat{y}_{t+1} = y_{t+1} | y_{0:T-1}]}{T-1} \]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/grafo_teoria_indice} 
\end{center}
\[\eta(t+1) = 0.09 + 0.04 + 0.25 = 0.38  \]
\end{column}

\begin{column}{0.5\textwidth}
Esempio:
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{c | c | c}
$\hat{y}_{t+1}$ & $y_{t+1}$ & prob. che si verifichi\\
                &           & la combinazione\\
\hline
A & A & $0.3 \cdot 0.3 = 0.09$\\
A & B & $0.3 \cdot 0.2 = 0.06$\\
A & C & $0.3 \cdot 0.5 = 0.15$\\
B & A & $0.2 \cdot 0.3 = 0.06$\\
B & B & $0.2 \cdot 0.2 = 0.04$\\
B & C & $0.2 \cdot 0.5 = 0.10$\\
C & A & $0.5 \cdot 0.3 = 0.15$\\
C & B & $0.5 \cdot 0.2 = 0.10$\\
C & C & $0.5 \cdot 0.5 = 0.25$\\
\end{tabular}
\end{table}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Algoritmi e Strumenti utilizzati}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{Metodo di soluzione complessivo}}\\
\vspace{0.3cm}
\textbf{Indice di prestazione}\\
\vspace{0.3cm}
Detta $a_{x,:}$ la riga della matrice $A$ corrispondente al nodo $x$, si ha
\[
\eta(t+1) = \Vert a_{x,:}\Vert ^2
\]
Ci si aspettano gli andamenti
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/grafico_indiceOk} 
\end{center}

\end{frame}

%--------------------------------- --------------- ----------


%--------------------------------- corridoio ----------

\section{Parte simulativa}

\subsection{}

\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{I) Caso corridoio}}
%\vspace{0.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{pictures/Corridoio_presentazione} 
\end{center}

\begin{table}[!h]
\centering
\begin{tabular}{r l }

     $S_1 \:\rightarrow$ &   $S_1,S_6$ \\

     $S_2 \:\rightarrow$  &  $S_2,S_{10}$ \\

     $S_3 \:\rightarrow$  &  $S_3,S_9$\\

     $S_4 \:\rightarrow$  &  $S_4,S_8$\\

     $S_5 \:\rightarrow$  &  $S_5,S_7$\\

\end{tabular}
\end{table}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\vspace{0.2cm}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{I) Caso corridoio}}
\vspace{0.3cm}
{\scriptsize
\begin{table}[!h]
\centering
\begin{tabular}{c | c c c c c}
     &   $S_1$	&	  $S_2$		&	$S_3$	&	$S_4$	&		$S_5$\\
\hline
$S_1$&   0.950 &      0.025 &          0 &          0 &      0.025 \\
$S_2$ &   0.074 &      0.851 &      0.074 &          0 &          0 \\
$S_3$  &      0 &      0.075 &      0.851 &      0.075 &          0 \\
$S_4$    &     0 &          0 &      0.073 &      0.853 &      0.073 \\
$S_5$     &0.077 &          0 &          0 &      0.077 &      0.847 \\
\end{tabular}\\
\vspace{0.3cm}
Matrice $A$ iniziale.
\end{table}
\begin{table}[!h]
\centering
\begin{tabular}{c| c c c c c c c c c c}
  &   $S_1$	&		  $S_2$		&				$S_3$	&				$S_4$	&		$S_5$ &$S_6$	&		  $S_7$		&				$S_8$	&				$S_9$	&		$S_{10}$\\
\hline
$S_1$ & 0.951 &  0.048 &  0 &  0 &     0 &          0 &          0 &          0 &          0 &       0 \\
$S_2$&0 & 0.850 &   0.154 & 0 &        0 &          0 &          0 &          0 &          0 &       0 \\
$S_3$&   0 &    0  & 0.850 &  0.146 &  0 &          0 &          0 &          0 &          0 &       0 \\  
$S_4$&0 &0 &  0 & 0.854 &          0.150 &          0 &          0 &          0 &          0 &       0 \\
$S_5$  &  0 &  0 &  0 &  0 &       0.846 &      0.150 &          0 &          0 &          0 &       0 \\
$S_6$&   0 &   0  & 0 &   0 &          0 &      0.950 &      0.050 &          0 &          0 &       0 \\
$S_7$&   0 &    0 &   0 &   0 &        0 &          0 &      0.853 &      0.147 &          0 &       0 \\
$S_8$	&  0    &  0  &  0  &    0 &   0 &          0 &          0 &      0.851 &      0.149 &       0 \\ 
$S_9$	& 0 & 0 &  0  &   0 &          0 &          0 &          0 &          0 &      0.853 &   0.147 \\
$S_{10}$ & 0.153 &  0 & 0 &  0 &       0 &          0 &          0 &          0 &          0 &   0.847 \\
\end{tabular}\\
\vspace{0.3cm}
Matrice $A$ dopo la procedura di \emph{split}.

\end{table}
}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{I) Caso corridoio}}
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graphs/!!deltaCorridoio_0} 
\end{center}
\begin{itemize}
	\item $\eta$ é effettivamente crescente
	\item il modulo però varia di poco \:\:$\Rightarrow$ \:\: introduciamo la variante  \:\: {\Large \textbf{$\eta_v$}}
		
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
{\small Uno sviluppo futuro: studio della distribuzione di permanenza per ogni stato}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{I) Caso corridoio}}
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graphs/!!!CorridoioSenzaDiagRinormalizzata} 
\end{center}
\vspace{0.3cm}
{\Large
$$\eta_v\simeq 1 \quad !!!$$
}
\end{frame}

%--------------------------------- --------------- ----------


%--------------------------------- CASO GENERALE ----------


\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{II) Caso generale}}
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{graphs/traiettoria_random} 
\end{center}
\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
\item Onerosità computazionale \quad $\Rightarrow$ 
	\begin{itemize} 
	\item[--]ridurre il numero di campioni
	\item[--]aumentare $\nu$ (da $10^{-4}$ a $10^{-3}$)
	\end{itemize}
\item Prove con $\quad \sigma = 0, \quad \sigma=0.1,\quad \sigma=0.2$ \\ 
cioè split sempre più ""approssimativi''
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Parte simulativa}
\textcolor{green!70!black}{\Large \text{II) Caso generale}}
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.62\textwidth]{graphs/IndicePrestazioneConDiagonaleIncrociate_tutti} 
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{graphs/IndicePrestazioneSenzaDiagonaleIncrociate_tutti} 
\end{center}
\end{frame}

%--------------------------------- --------------- ----------

%--------------------------------- CONCLUSIONI ----------

\section{Conclusioni}
\subsection{}

\begin{frame}
\frametitle{Conclusioni, osservazioni, sviluppi futuri}
\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
\item Risultati soddisfacenti
\vspace{0.3cm}
\item Più storia per gli split $\Rightarrow$ split ""più sicuri'' $\Rightarrow$ miglior predizione
\vspace{0.3cm}
\item $
\left.
\begin{aligned}
& \text{più VCC} \\
& \text{aree più vaste}
\end{aligned}
\right\}
\quad \Rightarrow \quad \text{più dati}\quad \Rightarrow \quad  \text{Controllo distribuito}
$
\vspace{0.3cm}
\item la tipologia dei dati è generica
	\begin{itemize}
	\item[--] sensori di presenza
	\item[--] estensione al caso 3D
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


%--------------------------------- --------------- ----------
\section*{}
\begin{frame}
\begin{center}
\textcolor{blue!70!black}{\Huge \textbf{THE END}}\\
\vspace{2cm}
{\LARGE Grazie per l'attenzione}
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