\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\begin{document}
\title{PSC 2008 - Gruppo 3: Abstract}
\author{autori: \and Picco, Prendin, Vanti.}
\maketitle

\textbf{Progetto n.2: Localizzazione e tracking distribuito tramite una rete di sensori wireless
utilizzando tecniche non-parametriche.}\\\newline
Il progetto ha come scopo la determinazione della posizione di un nodo mobile tramite la conoscenza della misura della potenza rilevata da sensori fissi preposti nell'ambiente e grazie anche alla conoscenza di un training set di misure di potenza-posizioni effettuate precedentemente.\\
Schematizzando il nostro sistema come segue:\\
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textwidth, width=0.6\textwidth]{schema.eps}
\end{center}
\caption{Schema generale del sistema in esame.}\label{fig:uno}
\end{figure}\\
dove $x$ \`e la posizione del nodo mobile, $y$ \`e la potenza misurata dai sensori fissi nell'ambiente ed $ \epsilon $ \`e rumore bianco Gaussiano $ \epsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2_n)$.\\\\
Il nostro obiettivo \`e determinare una funzione $g(y)=f^{-1}(x): \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^2$ che dato in ingresso il valore della potenza misurata dai sensori fissi stimi il valore della posizione corrente $x$ del nodo mobile.
Per la costruzione della funzione si usa un approccio bayesiano, quindi fissata una probabilit\`a a priori e un insieme di dati (training set) che legano la posizione del nodo mobile alla misura di potenza rilevata dai sensori, si ricava la probabilit\`a a posteriori sulla posizione.\\
Il modello di regressione utilizzato \`e il seguente:
\begin{displaymath}
 f(x)=\phi(x)^T w ,\ \ \ \ y=f(x)+\epsilon
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
 w \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_p)
\end{displaymath}
\newpage
L'approccio bayesiano ricava la probabilit\`a a posteriori come:\\
\begin{displaymath}
\textrm{probabilit\`a posteriori} = \frac{\textrm{verosimiglianza} \cdot \textrm{probabilit\`a priori}}{\textrm{verosimiglianza marginalizzata}}
\end{displaymath}\\
dove la verosimiglianza \`e la probabilit\`a di ottenere i dati campione posto che i parametri abbiano la distribuzione a priori specificata.\\
Poich\`e dalla teoria \`e noto che se l'uscita e l'ingresso di un processo sono congiuntamente gaussiani (il che si traduce nella formula di bayes ad avere probabilit\`a a priori e verosimiglianza gaussiane) lo stimatore a minima varianza d'errore \`e una funzione lineare delle uscite, introduciamo il concetto di Processo Gaussiano di una funzione $f(\mathbf{x})$: in particolare andiamo a definire:
\begin{eqnarray*}
m(\mathbf{x}) &=& E[f(\mathbf{x})],\\
k(\mathbf{x},\mathbf{x}') &=& E[(f(\mathbf{x}) - m(\mathbf{x}))(f(\mathbf{x}') - m(\mathbf{x}'))]
\end{eqnarray*} 
Il nostro scopo sar\`a quindi quello di costruire diversi stimatori andando a modificare le covarianze $k$ (quindi andando a modificare la funzione $\phi(x)$ nel modello di regressione) e determinare il migliore in base ai risultati ottenuti discutendo anche la variazione delle prestazioni in ogni stimatore al variare degli iperparametri presenti in ogni funzione covarianza.\\
Le funzioni covarianze k(*) pi\`u comuni sono: Gaussiana, Matern, esponenziale gamma, razionale quadratica, polinomiali continue a tratti a supporto compatto.\\
In un primo momento il progetto in esame far\`a uso, per la costruzione degli stimatori, di dati (training set) ottenuti presso i laboratori NavLAb di Legnaro, in particolare sar\`a nostro compito dividere tali dati in due insiemi: training set e  validation set dove il primo serve per identificare il modello ed il secondo per valutarne la prestazione.
La seconda parte del progetto sar\`a quello di studiare e realizzare una campagna di raccolta di misure all'interno del DEI, identificare un nuovo modello e possibilimente verificarne l'efficacia valutando il traking di un nodo mobile incognito.\\
Una nota pratica: al fine di stimare la posizione del nodo mobile, quest'ultimo comunica con i nodi fissi (ancora) inviando ininterrottamente pacchetti attraverso un'interfaccia wireless. In linea teorica l'intensit\`a del segnale ricevuto dal nodo ancora \textit{i} al nodo mobile risulta proporzionale alla distanza tra di essi. Nella realt\`a invece risulta difficile riscontrare tale proporzionalit\`a in quanto i segnali sono affetti da rumore, interferenze ed \`e inoltre necessario tenere conto dei fenomeni di riflessione dell'onda elettromagnetica su pareti ed eventuali ostacoli.


%Per ogni funzione covarianza di dovr\`a determinare i parametri (iperparametri theta) della funzione covarianza come il valore %pi\`u probabile della distribuzione a posteriori di theta dati x,y e la funzione covarianza.
%\[p(theta|y,X,Hi)=\frac{p(y|X,theta,Hi)p(theta|Hi)}{p(y|X,Hi)}\]
%Purtroppo tale procedimento risulta complicato da risolvere algebricamente, percio` si decide di scegliere gli iperparametri %che massimizzino la verosimiglianza marginalizzata.


%Nel caso gaussiano utilizzando un K che mi fa avere una funzione lineare tra ingresso e uscita mi porta ad avere uno stimatore %ottimo anche fra quelli non lineari; mentre se si utilizza un K che mi fa avere una funzione non lineare nel caso gaussiano %trovo il migliore stimatore fra quelli lineari, per\`o esister\`a uno stimatore non lineare che far\`a meglio.

%Al fine di stimare la posizione del nodo mobile, quest'ultimo comunica con i nodi fissi (ancora) inviando ininterrottamente %pacchetti attraverso un'interfaccia wireless. In linea teorica l'intensit\`a del segnale ricevuto dal nodo ancora "i" al nodo %mobile risulta proporzionale alla distanza tra di essi. Nella realt\`a invece risulta difficile riscontrare tale proporzionalit\`a %in quanto i segnali sono affetti da rumore, interferenze ed \`e inoltre necessario tenere conto dei fenomeni di riflessione %dell'onda elettromagnetica su pareti ed eventuali ostacoli.

%La funzione $f(x)$ viene determinata utilizzando una serie di dati $(x,y)$ prelevati nel laboratorio NavLab di Legnaro. Il %nostro fine \`e utilizzare la medesima funzione $f$ per stimare la posizione del nodo mobile all'interno del laboratorio del %DEI-A dove sono gi\`a montati i nodi fissi.

\end{document}
